今回は、正則行列の逆行列を複雑な実例を元に算出したいと思います。
４×４行列も３×３行列でも計算方法は変わらないので、簡単な３×３行列を使って説明しようと思います。
今回は、次の話の続きです。
１．３次元計算では左手系座標系の方が理解し易い
２．３次元空間の回転方向とおかしな例
私は左手系座標系を使い、時計回りに回転させています。
今回は、コンピューターで計算した結果から小数点を切り捨てて使用していますので、四則演算の計算結果に多少誤差があります。
例
1.0÷3.0=0.33333333333333333333333333333333
0.33333333333333333333333333333333×3.0
=0.99999999999999999999999999999999
1-0.99999999999999999999999999999999
=0.00000000000000000000000000000001（誤差）
誤差の計算。
小数点を切り捨てると
0.3333
0.3333×3.0=0.9999
1.0-0.9999=0.0001（誤差）
切捨てを頻繁にしていることと、計算結果と整合性を保つ意図から、1.0÷3.0=0.33, 1.0-0.33=0.66の様にずれます。
誤差の例
2.4184-2.4184, 7.0710-(-7.0709), 6.6446-6.6443, 0.0-(-1.0), 1.0-0.0, 0.0-0.0
本当の答え
=0.0, 14.1419, 0.0003, 1.0, 1.0, 0.0
つじつまを合わせる答え
=0.0, 14.1421, 0.0, 1.0, 1.0, 0.0
まずは、計算元となるマトリックスを算出しましょう。
Ｚ軸を４５度回転させるマトリックス。
Ｙ軸を１１０度回転させるマトリックス。
各座標を１０倍へ拡大するマトリックス。
３つのマトリックスを掛け合わせた変換元の行列です。
次は、正則行列の逆行列を算出したいと思います。
掛け合わせたマトリックスから、逆行列を算出したいと思います。
まず、１行目の１列目を１にするには、-2.4184で変換元の行列、そして逆行列の１行目を割ります。
-2.4184÷(-2.4184)=1.0
-2.4184÷(-2.4184)=1.0
-9.3969÷(-2.4184)=3.885585511081706913661925239828
1.0÷(-2.4184)=-0.41349652662917631491895468078068
0.0÷(-2.4184)=0.0
0.0÷(-2.4184)=0.0
すると、図の様なマトリックスになります。
次は、２行目と３行目の１列目をゼロにします。
２行目１列目の-7.0710を１行目に掛け合わせます。
1.0000×(-7.0710), 1.0000×(-7.0710), 3.8855×(-7.0710), -0.4134×(-7.0710), 0.0000×(-7.0710), 0.0000×(-7.0710)
=-7.0710, -7.0710, -27.4743705, 2.9231514, 0.0, 0.0
求めた数で、２行目を引きます。
-7.0710-(-7.0710), 7.0710-(-7.0710), 0.0000-(-27.4743705), 0.0000-2.9231514, 1.0000-0.0, 0.0000-0.0
=0.0, 14.142, 27.4743705, -2.9231514, 1.0, 0.0
３行目１列目の6.6446を１行目に掛け合わせます。
1.0000×6.6446, 1.0000×6.6446, 3.8855×6.6446, -0.4134×6.6446, 0.0000×6.6446, 0.0000×6.6446
=6.6446, 6.6446, 25.8175933, -2.74687764, 0.0, 0,0
求めた数で、２行目を引きます。
6.6446-6.6446, 6.6446-6.6446,-3.4202-25.8175933, 0.0000-(-2.74687764), 0.0000-0.0, 1.0000-0.0
=0.0, 0.0, -29.2377933, 2.74687764, 0.0, 1.0
すると、図の様なマトリックスになります。
次は、２行目の２列目を１にしなければならないので、14.142136で変換元の行列、そして逆行列の２行目を割ります。
次は、２行目の２列目を１にしなければならないので、14.142136で変換元の行列、そして逆行列の２行目を割ります。
0.000000÷14.142136=0.0
14.142136÷14.142136=1.0
27.474764÷14.142136=1.9427591419004880168031194156243
-2.9238÷14.142136=-0.20674387518264567672097058039889
1.0÷14.142136=0.07071067623730955493569005417569
0.0÷14.142136=0.0
すると、図の様なマトリックスになります。
次は、３行目と１行目の２列目をゼロにします。
３行目２列目の0.0を２行目に掛け合わせます。
0.0000×0.0, 1.0000×0.0, 1.9427×0.0, -0.2067×0.0, 0.0707×0.0, 0.0000×0.0
=0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0
求めた数で、３行目を引きます。
0.0000-0.0, 0.0000-0.0,-29.2380-0.0, 2.7474-0.0, 0.0000-0.0, 1.0000-0.0
=0.0, 0.0, -29.2380, 2.7474, 0.0, 1.0
１行目２列目の1.0を２行目に掛け合わせます。
0.0000×1.0, 1.0000×1.0, 1.9427×1.0, -0.2067×1.0, 0.0707×1.0, 0.0000×1.0
=0.0, 1.0, 1.9427, -0.2067, 0.0707, 0.0,
求めた数で、１行目を引きます。
1.0000-0.0, 1.0000-1.0, 3.8855-1.9427, -0.4134-(-0.2067), 0.0000-0.0707, 0.0000-0.0
=1.0, 0.0, 1.9427, -0.2067, -0.0707, 0.0
すると、図の様なマトリックスになります。
次は、３行目の３列目を１にしなければならないので、-29.2380で変換元の行列、そして逆行列の３行目を割ります。
0.0000÷(-29.2380)=0.0
0.0000÷(-29.2380)=0.0
-29.2380÷(-29.2380)=1.0
2.7474÷÷(-29.2380)=-0.09396675559203775908064847116766
0.0000÷(-29.2380)=0.0
1.0000÷(-29.2380)=-0.03420206580477460838634653533073
すると、図の様なマトリックスになります。
次は、１行目と２行目の３列目をゼロにします。
１行目３列目の1.9427を３行目に掛け合わせます。
0.0000×1.9427, 0.0000×1.9427, 1.0000×1.9427, -0.0939×1.9427, 0.0000×1.9427,-0.0342×1.9427
=0.0, 0.0, 1.9427, -0.18241953, 0.0, -0.06644034
求めた数で、１行目を引きます。
1.0000-0.0, 0.0000-0.0, 1.9427-1.9427, -0.2067-(-0.18241953),-0.0707-0.0, 0.0000-(-0.06644034)
=1.0, 0.0, 0.0, -0.02428047, -0.0707, 0.06644034
２行目３列目の1.9427を３行目に掛け合わせます。
0.0000×1.9427, 0.0000×1.9427, 1.0000×1.9427, -0.0939×1.9427, 0.0000×1.9427,-0.0342×1.9427
=0.0, 0.0, 1.9427, -0.18241953, 0.0, -0.06644034
求めた数で、２行目を引きます。
0.0000-0.0, 1.0000-0.0, 1.9427-1.9427, -0.2067-(-0.18241953), 0.0707-0.0, 0.0000-(-0.06644034)
=0.0, 1.0, 0.0, -0.02428047, 0.0707, 0.06644034
すると、図の様な逆行列が出来ます。
最後に、逆行列により元の数値へ戻るか確認したいと思います。
まず、マトリックスを使用しない場合にどうなるか考えてみましょう。
ベクトル(10.0, 20.0, 30.0)を変形させましょう。
左手系座標系でＺ軸を時計回りに４５度回転させると、(21.21, 7.07, 30.00)になります。
左手系座標系でＹ軸を時計回りに１１０度回転させると、(-35.45, 7.07, 9.67)になります。
１０倍拡大すると、(-354.46, 70.71, 96.73)になります。
次に、マトリックスを使用した計算結果を見てみましょう。
変換元の行列に、ベクトル(10.0, 20.0, 30.0)を掛け合わせましょう。
-2.4184×10.0+(-2.4184×20.0)+(-9.3969)×30.0=-354.459
-7.0710×10.0+ 7.0710×20.0+ 0.0000×30.0=70.71
6.6446×10.0+ 6.6446×20.0+(-3.4202)×30.0=96.732
先程算出した計算結果と逆行列を掛け合わせると元の数値へ戻るはずです。
掛け合わせて見ましょう。
-0.0241×(-354.4612)+(-0.0707)×(70.7106)+0.0664×(96.7328)=9.96633342
-0.0241×(-354.4612)+ 0.0707×(70.7106)+0.0664×(96.7328)=19.96481226
-0.0939×(-354.4612)+ 0.0000×(70.7106)+(-0.0342)×(96.7328)=29.97564492
ほぼ元の数値へ戻りましたので、正しい逆行列を算出できているはずです。
斜めの行列に０が含まれる場合の解き方もあるのですが、逆行列に関してはここまでにしたいと思います。
２００６年頃マトリックスを使っていたので多少特性を知っていますが、今は少し忘れています。
「間違えたくない」という気持ちがあるので、コンピューターで試行して試しながら解きました。
実は、最近Youtubeに解けない数学問題があるな～とか、小学校で習う割り算の解き方を忘れていたりします。(^^;
誰が見るのかな～と思いつつ、しばらく難しい数学はお休みしましょう。(^^)
以上